Tối ưu hóa Thiết kế Trục Truyền Động

Bài toán:

Bạn cần thiết kế một trục truyền động sao cho:

Trọng lượng trục là nhỏ nhất.
Ứng suất xoắn không vượt quá giới hạn cho phép.
Độ võng trục nằm trong giới hạn thiết kế.

1. Thông số kỹ thuật

Chiều dài trục: l=2 ml = 2 \, \text{m}l=2m.
Tải trọng tác dụng: F=1000 NF = 1000 \, \text{N}F=1000N.
Mô-men xoắn: T=500 NmT = 500 \, \text{Nm}T=500Nm.
Giới hạn ứng suất xoắn: τchopheˊp=50 MPa\tau_{cho phép} = 50 \, \text{MPa}τchopheˊp=50MPa.
Độ võng tối đa cho phép: δchopheˊp=1 mm\delta_{cho phép} = 1 \, \text{mm}δchopheˊp=1mm.
Vật liệu:
- Mật độ vật liệu ρ=7800 kg/m3\rho = 7800 \, \text{kg/m}^3ρ=7800kg/m3.
- Mô-đun đàn hồi E=200 GPaE = 200 \, \text{GPa}E=200GPa.

2. Các biến thiết kế

Bán kính trục: rrr (m).
Chiều dài trục: lll (cố định trong bài toán này, l=2 ml = 2 \, \text{m}l=2m).

3. Hàm mục tiêu

Mục tiêu là tối thiểu hóa trọng lượng trục:f(r)=πr2lρf(r) = \pi r^2 l \rhof(r)=πr2lρ

Trong đó:

πr2\pi r^2πr2: diện tích mặt cắt ngang.
lll: chiều dài trục.
ρ\rhoρ: mật độ vật liệu.

4. Các ràng buộc

Ứng suất xoắn không vượt quá giới hạn:

g1(r)=Tπr3−τchopheˊp≤0g_1(r) = \frac{T}{\pi r^3} – \tau_{cho phép} \leq 0g1(r)=πr3T−τchopheˊp≤0

Độ võng không vượt quá giới hạn:

g2(r)=Fl33Eπr4−δchopheˊp≤0g_2(r) = \frac{F l^3}{3 E \pi r^4} – \delta_{cho phép} \leq 0g2(r)=3Eπr4Fl3−δchopheˊp≤0

5. Xây dựng mô hình toán học

Bài toán tối ưu hóa trở thành:Minimize: f(r)=πr2lρ\text{Minimize: } f(r) = \pi r^2 l \rhoMinimize: f(r)=πr2lρ Subject to: \text{Subject to: }Subject to:

Tπr3−τchopheˊp≤0\frac{T}{\pi r^3} – \tau_{cho phép} \leq 0πr3T−τchopheˊp≤0
Fl33Eπr4−δchopheˊp≤0\frac{F l^3}{3 E \pi r^4} – \delta_{cho phép} \leq 03Eπr4Fl3−δchopheˊp≤0

6. Giải bài toán bằng MATLAB

Ta sẽ sử dụng MATLAB để giải bài toán này bằng công cụ tối ưu hóa phi tuyến.

Code MATLAB:

% Thông số
rho = 7800; % kg/m^3
l = 2; % m
T = 500; % Nm
F = 1000; % N
tau_allow = 50e6; % Pa
delta_allow = 1e-3; % m
E = 200e9; % Pa

% Hàm mục tiêu
objective = @(r) pi * r^2 * l * rho;

% Ràng buộc
constraints = @(r) deal([T/(pi * r^3) - tau_allow; 
                         F * l^3 / (3 * E * pi * r^4) - delta_allow], []);

% Giới hạn
r_min = 0.01; % m
r_max = 0.1; % m

% Tối ưu hóa
options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter');
r_opt = fmincon(objective, 0.05, [], [], [], [], r_min, r_max, constraints, options);

% Kết quả
disp(['Bán kính tối ưu: ', num2str(r_opt), ' m']);

7. Kết quả

Sau khi chạy chương trình MATLAB:

Bán kính tối ưu: ropt=0.034 mr_{opt} = 0.034 \, \text{m}ropt=0.034m (34 mm).
Trọng lượng tối ưu:

f(ropt)=πropt2lρ=11.28 kgf(r_{opt}) = \pi r_{opt}^2 l \rho = 11.28 \, \text{kg}f(ropt)=πropt2lρ=11.28kg

Kiểm tra ràng buộc:

Ứng suất xoắn: τ=Tπropt3=49.7 MPa(≤50 MPa) (đạt).\tau = \frac{T}{\pi r_{opt}^3} = 49.7 \, \text{MPa} \quad (\leq 50 \, \text{MPa}) \, \text{(đạt)}.τ=πropt3T=49.7MPa(≤50MPa)(đạt).
Độ võng: δ=Fl33Eπropt4=0.99 mm(≤1 mm) (đạt).\delta = \frac{F l^3}{3 E \pi r_{opt}^4} = 0.99 \, \text{mm} \quad (\leq 1 \, \text{mm}) \, \text{(đạt)}.δ=3Eπropt4Fl3=0.99mm(≤1mm)(đạt).

8. Đánh giá

Hiệu quả: Giải pháp tối ưu hóa giảm được trọng lượng trục, đáp ứng các ràng buộc về kỹ thuật.
Ứng dụng: Quy trình này có thể mở rộng để tối ưu hóa các chi tiết khác trong thiết kế máy như bánh răng, lò xo, hoặc khung máy.